Γεωμετρικές+εφαρμογές+με+βάση+τον+κύκλο


 * Ο Άρβηλος και το Σελήνιον ή Σαληνόν του Αρχιμήδη **

Στα έργα του Αρχιμήδη περιλαμβάνεται και το “//Βιβλίο Λημμάτων//” στο οποίο περιέχονται 15 θεωρήματα. Το βιβλίο αυτό δεν διασώθηκε στη ελληνική γλώσσα και το γνωρίζουμε σήμερα από Αραβικό κώδικα που φυλάσσεται στην Βιβλιοθήκη της Φλωρεντίας. Τα θεωρήματα μεταφράστηκαν στα Λατινικά και εκδόθηκαν για πρώτη φορά το 1659 από τον S. Foster. O Eυάγγελος Σταμάτης ανακατασκεύασε και δημοσίευσε το αρχαίο κείμενο στην σικελική δωρική διάλεκτο το 1965. Στο εδάφιο για τον Άρβηλο αναφέρεται: δηλαδή:
 * [[image:my_arbelos.png]] || [[image:my_salinon.png]] ||
 * ** Ο Άρβηλος ** || ** Το Σελήνιον ή Σαληνόν ** ||

//Αν στη διάμετρο ενός ημικυκλίου πάρουμε ένα σημείο, γραφούν δε από τα τμήματα της διαμέτρου δύο ημικύκλια εντός, και από το σημείο που πήραμε υψωθεί κάθετος στη διάμετρο μέχρι την περιφέρεια, το σχήμα που περιέχεται μεταξύ των τριών τόξων, ισούται με τον κύκλο που έχει διάμετρο την υψωθείσα κάθετο.// Το μέρος του επιπέδου που περικλείεται μεταξύ των τριών ημικυκλίων ονομάζεται Άρβηλος Άρβηλος ονομάζονταν στην αρχαιότητα το μαχαίρι του υποδηματοποιού (τσαγκάρη).

Στο εδάφιο για το Σελήνιο ή Σάληνο αναφέρεται:

δηλαδή: Αν σε ένα ημικύκλιο ληφθούν δύο ίσα τμήματα από τα άκρα της διαμέτρου του και από αυτά γραφούν εντός δύο ημικύκλια και από το υπόλοιπο τμήμα ένα ημικύκλιο εκτός, ο κύκλος του οποίου διάμετρος είναι το άθροισμα των ακτίνων του ληφθέντος ημικυκλίου και του εκτός, ισούται με το εμβαδόν του σχήματος που περικλείεται από τα τόξα όλων των ημικυκλίων το οποίο ας ονομαστεί σελήνιον (μηνίσκος σελήνης). Το σχήμα στα αγγλικά αναφέρεται ως Salinon. Ο Ευάγγελος Σταμάτης πιστεύει ότι η ονομασία αυτή που προέρχεται από το λατινικό Salinum (αλατοδοχείο) οφείλεται σε λάθος που έγινε από τους αντιγραφείς του χειρογράφου και ονομάζει το σχήμα Σελήνιον δηλαδή μηνίσκο σελήνης. Άλλοι θεωρούν ότι η ονομασία προέρχεται από αρχαία ελληνική ασπίδα ανάλογου σχήματος. Εφαρμογή Geogebra για τον Άρβηλο Εφαρμογή Geogebra για το Σελήνιο

**Γενίκευση πυθαγορείου θεωρήματος με ημικύκλια**

Όπως είναι γνωστό από το Πυθαγόρειο θεώρημα, το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών του. Αν δηλαδή σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο κατασκευάσουμε εξωτερικά τετράγωνα με πλευρά τις πλευρές του τριγώνου, το εμβαδόν του τετραγώνου με πλευρά την υποτείνουσα ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων με πλευρές τις δύο κάθετες πλευρές του τριγώνου. Αποδεικνύεται ότι ισχύει το ίδιο αν αντί για τετράγωνα κατασκευαστούν εξωτερικά ημικύκλια με διαμέτρους τις πλευρές του τριγώνου. Δηλαδή, σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το εμβαδόν τoυ ημικυκλίου με διάμετρο την υποτείνουσα του τριγώνου, ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των ημικυκλίων με διαμέτρους τις κάθετες πλευρές του.

Εφαρμογή Geogebra για την απόδειξη

**Οι Μηνίσκοι του Iπποκράτη**

//**Μηνίσκος**// είναι το σχήμα που «περικλείεται» από δύο τόξα που έχουν κοινή χορδή και βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της.



Ένα από τα αρχαιότερα γεωμετρικά προβλήματα είναι ο **τετραγωνισμός του κύκλου.** Στο πρόβλημα ζητείται η κατασκευή με κανόνα και και διαβήτη ενός τετραγώνου με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου. Όπως αποδείχθηκε τελικά το 1882 από τον Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν (Ferdinand von Lindemann) το πρόβλημα αυτό δεν έχει λύση. Με το πρόβλημα αυτό ασχολήθηκε και ο Ιπποκράτης, που ήταν μεγάλος μαθηματικός που γεννήθηκε στη Χίο και έζησε τον 5ο αιώνα π.Χ. (περίπου στο διάστημα 470 - 410 π.Χ). Από την μελέτη του προβλήματος οδηγήθηκε στον τετραγωνισμό ενός μηνίσκου. Συγκεκριμμένα στο μοναδικό απόσπασμα των "Στοιχείων" του Ιπποκράτη, υπολογίζει το εμβαδόν των σχημάτων που σήμερα είναι γνωστά ως "Μηνίσκοι του Ιπποκράτους".

Επέκταση πυθαγορείου θεωρήματος και μηνίσκοι
Εφαρμογή Geogebra για τους μηνίσκους του Ιπποκράτη Εφαρμογή Geogebra με μηνίσκους